Nullstellen

Ansatz

Gegeben sei die Funktion: $$f(x)=2x^3+4x^2-6x$$

Diese Gleichung darf nicht durch 2 geteilt werden!
Zunächst muss aus der Funktionsgleichung eine Gleichung gemacht werden, die man auflösen möchte. Das heißt, man schreibt den Ansatz hin:

Es soll gelten:
$$f(x) \stackrel!= 0$$ $$\Longleftrightarrow\quad 2x^3+4x^2-6x=0$$ Dann erst kann diese Gleichung durch 2 dividiert werden, usw..

Warum darf man das nicht? Weil sich sonst durch die Division mit 2 mathematisch korrekt folgendes ergibt: $$\frac{f(x)}{2}=x^3+2x^2-3x$$ was in den meisten Fällen nicht wirklich weiterhilft.

pq-Formel

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$$

Beispiel: $$ f(x)=2x^2-2x-12$$ Also: $$f(x)\stackrel!= 0$$ $$\Leftrightarrow 2x^2-2x-12 = 0 \qquad | :2$$ Wichtig! Erst durch 2 dividieren, damit der Koeffizient des $x^2$ 1 ist! $$\Leftrightarrow x^2-x-6=0$$ $$\Rightarrow x_{1,2}=\frac12\pm\sqrt{\frac14+6} = \frac12\pm\frac52 \Leftrightarrow x_1=-2 \land x_2=3$$

x ausklammern

Kommt in jedem Summanden ein $x$ vor, so kann man $x$ ausklammern und somit den Schwierigkeitsgrad des Nullstellenfindens erheblich reduzieren, da nun jeder Faktor einzeln untersucht werden kann.

Beispiel: $$x^3+2x^2=x^2\cdot(x+2)$$

Polynomdivision

Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion bekannt, so kann einen Linearfaktor ausklammern, indem man den Funktionsterm durch ihn dividiert.

Substitution

Beispielsweise bei biquadratischen Gleichungen kann man $x^4$ durch $x^2$ ersetzen und so den Grad des Polynoms halbieren. Dann können mit Hilfe der pq-Formel zwei $x$ (soweit vorhanden) bestimmt werden, aus denen mit Hilfe der Wurzel dann die Nullstellen $z_1$ bis $z_4$ (soweit vorhanden) bestimmt werden können.

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